Kub Köklü İfadələr və Çoxhədlilər

6 avqust 20261 dəqiqəlik oxuma

Kub Köklü İfadələr və Çoxhədlilər

Camal Qədirov

September 10, 2026

Bu yazımızda kubik radikallarla verilən bəzi ifadələrin çoxhədli perspektivi ilə necə tam ədəd olduğunu göstərməyə çalışacağıq. Misal,

\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}

şəklində ifadələri necə hesablamaq olar?

Bunun üçün $a,b\in\mathbb{Z^+}$ olmaqla

\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}

şəklindəki ifadə götürək. Buna $x$ deyib kuba yüksəltsək,

x^3=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}+3\cdot x \cdot (a^2-b)^{1/3}=2a+3x\cdot (a^2-b)^{1/3}

şəklində olacaqdır. İndi tutaq ki, $a^2-b=c^3$ olmaqla tam kubdur onda

x^3-3cx-2a=0 \; \; , \; \; \;\; a,c\in\mathbb{Z}

şəklində kubik tənlik alacağıq. Son olaraq bizdən istənilən kubik radikallı ifadə əlbəttəki həqiqi ədəd olduğuna görə biz çoxhədlini vuruqlara ayırıb bir həqiqi və iki kompleks kökünü tapırıq. Bu isə o deməkdir ki, elə bizdən tələb olunan sualın cavabı həmin o həqiqi (kök olan) ədəddir. Bu kiçik ideamızı misallarla zənginləşdirək.

Misal 1 : Hesablayın :

\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}

Həlli : Bu ifadəyə $x$ deyib kuba yüksəltsək,

x^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\cdot x \cdot \sqrt[3]{-1}=4-3x

\Longrightarrow x^3+3x-4=0

Rasional kökün varlığı haqqında teoremə əsasən $x=1$ bu tənliyin kökü olduğunu görərik (çünki $1^3+3\cdot 1-4=0$ ) buna görə həmin çoxhədlinin $(x-1)$ kimi vuruğu vardır. Vuruqlara ayırmağa çalışsaq,

x^3+3x-4=(x-1)(x^2-x+4)=(x-1)\big((x-1/2)^2+15/4\big)

olacaq və aydındır ki, ikinci vuruğun həqiqi kökü yoxdur (yəni kompleks ədəddir). Deməli $x=1$ elə ifadəmizin cavabıdır.

Misal 2 : Hesablayın :